std::atanh(std::complex)

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定义于头文件 <complex>
template< class T >
complex<T> atanh( const complex<T>& z );
(C++11 起)

计算 z 的复反双曲正切,其分支切割为沿实轴的 [−1; +1] 区间外部。

目录

[编辑] 参数

z - 复数值

[编辑] 返回值

若不发生错误,则返回 z 的复反双曲正切,范围在数学上为沿着实轴无界的半条,沿着虚轴为区间 [−iπ/2; +iπ/2]

[编辑] 错误处理及特殊值

错误的报告方式与 math_errhandling 一致。

若实现支持 IEEE 浮点算术,则

  • std::atanh(std::conj(z)) == std::conj(std::atanh(z))
  • std::atanh(-z) == -std::atanh(z)
  • z(+0,+0) ,则结果为 (+0,+0)
  • z(+0,NaN) ,则结果为 (+0,NaN)
  • z(+1,+0) ,则结果为 (+∞,+0) 并引发 FE_DIVBYZERO
  • z(x,+∞) (对于任何有限正 x ),则结果为 (+0,π/2)
  • z(x,NaN) (对于任何有限非零 x ),则结果为 (NaN,NaN) 并可能引发 FE_INVALID
  • z(+∞,y) (对于任何有限正 y ),结果为 (+0,π/2)
  • z(+∞,+∞) ,则结果为 (+0,π/2)
  • z(+∞,NaN) ,则结果为 (+0,NaN)
  • z(NaN,y) (对于任何有限的 y ) ,则结果为 (NaN,NaN) 并可能引发 FE_INVALID
  • z(NaN,+∞) ,则结果为 (±0,π/2) (实部的符号未指定)
  • z(NaN,NaN) ,则结果为 (NaN,NaN)

[编辑] 注意

尽管 C++ 标准命名此函数为“复弧双曲正切”,双曲函数的反函数却是面积函数。其参数是双曲扇形的面积,而非弧长。正确的名称是“复反双曲正切”,和较少见的“复面积双曲正切”。

反双曲正切是多值函数,并要求复平面上的分支切割。我们约定将分支切割置于实轴的划分线 (-∞,-1][+1,+∞)

反双曲正切的主值的数学定义是 atanh z =
ln(1+z)-ln(z-1)
2


对于任何 z , atanh(z) =
atan(iz)
i

[编辑] 示例

#include <iostream>
#include <complex>
 
int main()
{
    std::cout << std::fixed;
    std::complex<double> z1(2, 0);
    std::cout << "atanh" << z1 << " = " << std::atanh(z1) << '\n';
 
    std::complex<double> z2(2, -0.0);
    std::cout << "atanh" << z2 << " (the other side of the cut) = "
              << std::atanh(z2) << '\n';
 
    // 对于任何 z , atanh(z) = atanh(iz)/i
    std::complex<double> z3(1,2);
    std::complex<double> i(0,1);
    std::cout << "atanh" << z3 << " = " << std::atanh(z3) << '\n'
              << "atan" << z3*i << "/i = " << std::atan(z3*i)/i << '\n';
}

输出:

atanh(2.000000,0.000000) = (0.549306,1.570796)
atanh(2.000000,-0.000000) (the other side of the cut) = (0.549306,-1.570796)
atanh(1.000000,2.000000) = (0.173287,1.178097)
atan(-2.000000,1.000000)/i = (0.173287,1.178097)

[编辑] 参阅

计算复数的面积(反)双曲正弦
(函数模板) [编辑]
计算复数的面积(反)双曲余弦
(函数模板) [编辑]
计算复数的双曲正切
(函数模板) [编辑]
(C++11)
计算反双曲正切( artanh(x)
(函数) [编辑]
catanhC 文档